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【摘要】数学建模双课堂的教学模式在我校已经实施了两轮，2011届和2012届高一年级全体学生参加，共1000多人，共同体验了“问题引领，先学后做，化教为学，组间碰撞，网上交互，实课解惑，资源累加，共同发展”的过程，在这一过程中，学生分成了近200个学习小组，撰写了近180余篇数学建模论文（见附录1），其中2001届共有15个学习小组的论文在海淀区研究性学习优秀课题征集与交流评选活动中分获一、二、三等奖（见附录2）。用学生的话说：“总而言之，这次建模我敢肯定永远不会被我抛之脑后，其中的方法、感受我相信更会对我未来的工作学习起到帮助作用”；“永远保持一颗好奇的心灵，你会发现世界的奥妙！”
【关键词】网络；数学建模；双课堂；合作；交流
一、数学建模双课堂——“学习看来就是这样地让人传神入化，这样的学习是一种境界” 。
经过两轮的实践，我们建立了一个以数学建模为依托，双课堂交替实施的全新的学习模式，在这个过程中，我们创造提供了适合这种学习的丰富资源，开发设计了网络互动平台（http：//www.bjecr.com.cn/），提出了新的评价方式，在这个过程中，教师、学生以及学生家长多方相互沟通、相互启发、相互补充，分享彼此的思考、经验和知识，交流彼此的情感、体验与观念，丰富教学内容，求得新的发现，从而达到共识、共享、共进，实现教学相长和共同发展。这种教学模式值得进一步推广。
我校关于“数学建模选修课程网络实施”已经开展了两轮，针对两轮实施的总体过程均按以下流程展开：
学生数学建模活动是在作业指导下，通过辅导教师的帮助完成的，四个单元作业的作用主要是将各种关系（学生与学生，学生与辅导教师，学生与家长，辅导教师与家长等）联系起来，通过网络平台形成教育的合力；网络平台是实施有效交流的很好的平台，它使参与讨论者（应注意的是这些参与者不只是本组教师，还有学生、家长等教育活动中的相关人员）在活动中有了更多的话语权。在网络环境下，不但能做到人人参与，各抒己见，畅所欲言，表达自己真实的感受，交流密度高，交互面广，而且还突破时间空间限制，让参与者有充分思考的时间，所发表的观点有见解，质量高，很重要的一点是还能克服面对面交流的诸多弊端，相较于传统的教研活动方式，参与者更多了几分自由的感觉。
关于我校“双课堂”数学建模实施过程详细的说明，见附录3。
二、透过数学建模双课堂我们看到了学生的什么变化？
（一）首先是学生学习方式的变化，通过数学建模双课堂活动，学生对数学的学习有了更深一层的认识，形成了自主学习，主动探究，合作交流的模式。
1．自主学习蔚然成风——“纵然研究过程是艰辛的，但是我们却收获了金灿灿的果实。”
（1）学生自由分组，每组4-5人，2012届高一年级学生形成了91个数学建模学习小组，2011届高一年级学生形成了95个数学建模学习小组，通过小组的形成数量我们完全可以看出学生学习方式的变化。
（2）数学建模双课堂的这个学习过程中，真实课堂只占总课时的三分之一，多数的时间都是通过学生的自主学习完成的，各个小组不仅将已学习的初等函数进行了全面的总结，而且在建模过程中总结了近20多种的函数模型，这是学生在现实课堂上所不能学到的，这何尝不是自主学习的更好的体现呢？
（3）在数学建模的过程中，学生在解决问题时，不仅用到了课堂上学习到的方法，同时也使用了很多不是在现实课堂上所能学习到的方法：例如对数据的收集和整理，学生在网络的帮助下，使用了10多种处理数据的不同程序，甚至有一些是英文软件。
同样我们在下面的案例1中，可以感到学生自主学习的意识：
案例1．甘孝天同学网上作业1-3摘选
学生：“数学建模是使用数学模型解决实际问题。我认为：数学建模是利用数学方法解决实际问题。通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，培养和提高了学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力。
应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。 我认为由于我们的数学知识有限，无法研究复杂问题，很多事情前人已有研究，所以我想，数学建模可能更能培养我们解决实际问题的能力，而不在解题能力。
我认为数学建模最复杂的部分是从实际中收集数据，有时理论上可行的方法，运用到实践中会出很多意想不到的困难，这需要我们对计划的完善和改进。数学建模是数学知识和实际的结合，它让我们感受到数学与生活，数学与人生的联系。 数学建模最关键的部分是构建函数模型，这是把数学和实际结合起来的关键步骤，经过此关键步骤才能应用数学真正解决实际问题。有时候尽管我们得不到具体函数关系，但是我们已经确定了函数关系的存在，也是值得欣慰的，并且我们分析出了整体趋势，并得出分析结果。
“通过这次数学建模的研究过程，我收获颇丰。第一次知道了这么多高级的数学软件，同时从其他同学那里学习到了更有创造性的想法。这次活动不但开阔了视野，而且更让我坚信一点：‘永远保持一颗好奇的心灵，你会发现世界的奥妙！’正如我在论文的结束语中写道‘咖啡的香甜总是要经历一番苦涩一样，纵然研究过程是艰辛的，但是我们却收获了金灿灿的果实。’感谢数学给予了我们这宝贵的经历！相信当我们步入古稀之年时，蓦然回首这珍贵的记忆，一定会嫣然一笑，乐在其中……”（高一4班崔皓）
2．主动探究成气候—“成功的意义不是在胜利后欢呼雀跃，而是去感受默默奋斗过程中的点点滴滴”。
为了使学生能够顺利地开展数学建模活动，我们为学生提供了50多篇优秀的数学建模论文，作为资源供学生学习和阅读，同时设计了作业“作业1-2：学习有关数学建模论文相关资料的收获”，通过学习，学生感触颇深，潜移默化地形成了很好的探究学习的风气：
感受1：“仔细研究完这十七页报告，我深知自己与前辈们的差距，作者考虑周全，思维明确，令人叹服。纵观全文，我深刻地感到科学的神奇，数学在生活中的重要性，它使未说清的东西说清，应用数学还有更为广阔的天地，所以说基础的数学体系支撑着事件的建模、分析，控制了结论。在体会他人之文章时，也体会到了自身的不足，还有很长的路要走。” （高一3班 陈兆初）
感受2：“我们刚看到这个建模题目，其实挺惊讶的，因为自己一向认为十字绣非常简单，根本没有想到它的针法还有这么强的可研究性，而这篇论文也是众多数学论文中较为复杂繁长的一篇，只是浏览文章就需要足够的耐心，不禁对探究人员的耐心充满佩服，同时也对自己即将开始的探究之困难做好了充足的思想准备。
初步阅读这篇论文，我觉得它其实应用价值不是很大，毕竟十字绣的针法即便不用计算大家也是很清楚的，这个探究如果光是就针法方面而言贡献并不大，但探究者还联想到了公式应用的拓展和该研究成果在电脑芯片方面的可能应用，这就是一个看起来没有太大价值的研究主题提升了它的应用价值。也就是说我们可以探究一些可能只是出于爱好的题目，表面上看起来应用价值并不大，但在得到结果后可以发挥我们丰富的想象力去赋予于它们更高的价值和更大的意义，也许我们的探究结果在看似毫不相关的领域内也有很大的应用价值，这就充分说明了思考的重要性。
又会想起刚评价过的程斯一组提出的三个问题，记得我还提到她们的第一个探究题目（探究时针分针之间的直线距离与时间的关系）的应用价值不大，只是出于趣味性才去探究。但现在看来，如果她们能够充分延展这一探究题目的应用价值，也许会有意想不到的收获。就我们组的探究题目来说，既然奥运烟花今年已经走进千家万户，我们的探究价值看似很大程度地缩小了，但我们是不是也可以对探究的结果加以充分地思考，发挥它更大的应用价值。也就是说我们的探究来源于烟花但应用上并不局限于烟花，这是有待我们全组人员思考的一个问题，也是阅读这篇数学建模论文给我们组带来的最大也最具实际意义的收获。
论文内容的使用价值也许并不是很大，但是从中我们却可以获得很多的启示。使我们对将要研究的烟花这个论文有了更为明确的思路。这篇论文好在他的细心，对于每一个步骤都一丝不苟的（地）完成。”（高一4班 徐可馨，马汉琪）
感受3：案例3马腾洲网络作业1-2摘选
“正如我给组员们评语的最后一句话——“成功的意义不是在胜利后欢呼雀跃，而是去感受默默奋斗过程中的点点滴滴。”成功固然可贵，但没有过程，一切就只是徒有华丽外表的空中楼阁。有时候或许正是这样，巧克力的甜美或许不会让你记忆，但汗水的点点盐味却会让你永世难忘。第二个让我记忆深刻的就是有效统筹和使用合理方法，这次建模中最困难的无疑是采集数据，由于我们组选题是天干地支纪年法，数据采集将惊人地繁杂，最开始我们想收集3000个左右的数据但最终经过一系列的统筹安排和有效的转化，我们将数据收集缩少到了60个为研究省下了大量时间和精力。总而言之，这次建模我敢肯定永远不会被我抛之脑后，其中的方法感受我相信更会对我未来的工作学习起到帮助作用。”（高一4班 李奥）
通过以上丰富的案例，可以看出学生是认真的，而且投入了感情去做这项工作的，主动探究已成气候。
3．合作学习有收获——“感谢建模活动，让我学会很多，也收获那么多快乐。”
（1）数学建模双课堂活动，我们共设计了四个单元的作业，总计22个小作业，其中需要小组共同完成的作业有11个，充分体现了合作学习的重要性。
（2）在小组作业完成的过程中，小组成员进行了充分的讨论，分工明确，在数学建模的过程中找到了合作学习的乐趣。
“通过这次参加数学建模活动，我不但对数学有了新的认识，同时也因为这次活动而更加深刻地了解到团结协作的重要性。在刚刚开始时，对于“数学建模”这样一个新的名称，所感到的更多是敬畏及困惑。但仅是在通过看同学们所找到的不同函数，就发现原来生活中其实是处处充满了数学问题的，从而开拓了思路。在这次建模活动中，再没有老师手把手地教，所有的实验设计和数据采集包括资料的查找主要都是依靠自己。在这个过程中还需要与同组的成员合作完成任务，使我认识到了成功光靠一个人是不够，团队的协作才是最重要的。这次建模不但是对我们学习能力的一次锻炼，同时也是对我们处理事务的能力的提升机会，希望以后可以多多参加此类活动。”（高一4 邱月） “数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。会大大方便我们的思考和计算，培养创新意识和创造能力，训练快速获取信息和资料的能力，锻炼快速了解和掌握新知识的技能，同时又能培养团队合作意识和团队合作精神，何乐而不为呢？ 通过建模学习，我体会到了它对学习的帮助，我们在活动中训练了自己，比如说意志力，调查能力，表述能力等，有很大帮助。通过第三阶段的合作学习和结题报告，我更加体会到了建模带给我的快乐和它给我的技能，在工作中我培养了自己的团结精神。”（高一5班郜汝闯）
案例4：郜汝闯同学的网上作业摘选
“通过这次参加数学建模活动，我不但对数学学习知识的运用有了更多的提升，同时也更加深刻地了解到团结协作的重要性。开始时，对于数学建模这个陌生的东西我们望而生畏，而且最重要的是，在这些过程中，并没有任何老师的帮助，只有依靠自己或是自己的组员。通过阅读材料等，我渐渐熟悉了建模这个有些抽象的东西，慢慢地也就觉得得心应手了。
在建模的过程中，学习是很重要的，首先从选择提案开始就很艰难，生活中有很多函数，可哪些是真正适合的呢？在刚开始的讨论中，我们对建模的意见都不是很成熟，但时间长了，我们就能很有默契地讨论出我们需要的东西。在最后的分工中，我也体会到了协作和自我能力结合 | 
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