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基于GeoGebra构造多边形与多边形重叠部分动画的5种方法

——以2012年吉林省中考第25题为例


2013-03-21 09:56:46   来源:   撰稿:杨帆(转载)   摄影摄像:    ;  评论:0 点击:

  【摘 要】本文使用GeoGebra的命令和工具,以2012年吉林省中考第25题为例使用5种方法构造多边形与多边形的重叠部分的动画,展现了GeoGebra软件的动画制作功能的有效和强大.  【关键词】GeoGebra;命令输入...

  【摘 要】本文使用GeoGebra的命令和工具,以2012年吉林省中考第25题为例使用5种方法构造多边形与多边形的重叠部分的动画,展现了GeoGebra软件的动画制作功能的有效和强大.
  【关键词】GeoGebra;命令输入框;多边形;动画

  多边形与多边形动态重叠问题是近年来各地中考的热点问题,由于画图难度较大,学生解决问题难点多,借助数学动态软件几何画板和GeoGebra制作直观动画能有效帮助学生思考和解决问题.用几何画板制作这类动画往往技巧性强、完成难度大,但使用GeoGebra制作动画相对简单且方法多、易掌握.
  问题:2012年吉林省中考第25
  如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=2cm,AC=4cm,动点P从点A出发,沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动,动点Q从点B同时出发,沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动.当点P到达点B时,PQ两点同时停止运动.以AP为一边向上作正方形APDE,过点QQF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为ts,正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为Scm2
  (1)当t=_____s时,点P与点Q重合;
  (2)当t=_____s时,点DQF上;
  (3)当点PQB两点之间(不包括QB两点)时,求St之间的函数关系式.


  准备工作:
  1.启动GeoGebra,点击【查看】菜单,选择使绘图区显示坐标系.
  2.选择点工具在绘图区构造自由点A,在命令框输入B=Point[Ray[A,(x(A)+1,y(A))]],在以A端点水平向右方向射线上绘制点B;在命令框输入C=(x(A),y(A)+2*Distance[A,B]),在A点正上方绘制点C使AC等于AB2倍.
  3.利用线段工具,绘制线段a(线段AB)、b(线段AC)和c(线段BC)构造满题设条件∠A=90°AC=2AB的三角形.
  (注:以下四种绘图方法都是分别在准备工作的基础上进行.)

  第一种方法:利用指令IntersectRegion[&ltPolygon&gt,&ltPolygon&gt]
  (一)绘制正方形APDEQF
  1.选择点工具在线段AB上绘制点P,在命令框分别输入D=(x(P),y(P)+Distance[A,P])和E=(x(A),y(D))绘制出点DE,利用线段工具,绘制线段PDDE
  2.在命令框分别输入pz=PathParameter[P]计算点P在线段AB的路径参数值pz
  3.在命令框输入Q=Point[a,1-pz]在线段a上绘制参数值为1-pz的点Q;在命令框输入F=Point[b,1-pz]在线段b上绘制参数值为1-pz的点F,利用线段工具,绘制线段QF
  (二)绘制正方形APDE与梯形BCFQ重合部分
  1.在命令框输入poly1=If[pz&lt=0.4,Polygon[D,D,D,D,D,D],IntersectRegion[Polygon[A,P,D,E],Polygon[B,C,F,Q]]]绘制出正方形APDE与梯形BCFQ重合部分poly1
  2.利用移动工具选择点P进行拖动观察运动过程正方形APDE与梯形BCFQ重合部分变化情况.
  (注:1.为方便计算和绘图,当正方形APDE与梯形BCFQ没有重合部分规定重合部分面积为0且重叠多边形的顶点都为点D;2.用指令IntersectRegion[ ]构造重合部分在GeoGebra4.0.40.0以上版测试正常,而在GeoGebra4.0.38.0构造不正确.)

  第二种方法:构造交点用if指令构造重叠部分
  (一)方法同第一种方法第一部分操作.
  (二)构造交点
  1.在命令框分别输入P_1=Point[a,0.4]P_2=Point[a,1/2]P_3=Point[a,2/3]绘制点P在运动路径上的3个关键辅助点P1P2P3
  2.将点P移动到线段P1P2上,用点工具绘制出QFDEPD的交点GH;将点P移动到线段P3B上,用点工具绘制出BCDEPD的交点IJ
  (三)构造重合部分
  1.在命令框输入poly1=If[pz&lt=0.4,Polygon[D,D,D],If[pz&lt=0.5,Polygon[D,G,H],If[pz&lt=2/3,Polygon[D,G,Q,P],Polygon[E,F,Q,P,J,I]]]]绘制出重合部分.
  2.隐藏绘图辅助对象,只显示点ABCDPQEF;利用移动工具拖动点P可动态观察重合部分.

  第三种方法:用if
指令构造顶点构造重叠部分
  1.同第二种方法(一)、(二)两步绘图结果.
  2.如下右图,重合部分边数最多时为6边形,有6个顶点,分别标为D1D2D3D4D5D6

  3.在命令框分别输入
D_1=If[pz&lt=0.4,D,If[pz&lt=2/3,G,F]]D_2=If[pz&lt=0.4,D,If[pz&lt=2/3,G,E]]
 D_3=If[pz&lt=2/3,D,I]D_4=If[pz&lt=2/3,D,J]D_5=If[pz&lt=0.4,D,If[pz&lt=0.5,H,P]]
D_6=If[pz&lt=0.4,D,If[pz&lt=0.5,H,Q]],绘制出对应点P路径参数值时各顶点.
  4.在命令框输入poly1=Polygon[D_1,D_2,D_3,D_4,D_5,D_6]绘制出以D1D2D3D4D5D6为顶点的多边形,为正方形APDE和梯形BCFQ的重合部分.
  5.隐藏绘图辅助对象,只显示点ABCDPQEF;利用移动工具拖动点P可动态观察重合部分.

  第四种方法:顶点路径追踪
  1.在命令框分别输入P_1=Dilate[B,0.4,A]P_2=Dilate[B,0.5,A]P_3=Dilate[B,2/3,A]Q1=Dilate[A,2/3,B]绘制PQ点路径上辅助关键点P1P2P3Q1
  2.在命令框分别输入D1=Rotate[A,-90°,P_1]D2=Rotate[A,-90°,P_2]D3=Rotate[A,-90°,P_3]D4=Midpoint[B,C]E1=(x(A)+0.5*Distance[A,P_2],y(A)+Distance[A,P_2])E2=(x(A),y(D3))E3=Dilate[A,0.5,C]分别构造重合图形顶点运动路径辅助关键点D1D2D3D4E1E2E3
  3.在命令框分输入P=Point[PolyLine[A,P_1,P_2,P_3,B]]在折线AP1P2P3B上绘制动点P;在命令框中分别输入D=Rotate[A,-90°,P]E=(x(A),y(D))Segment[P,D]Segment[D,E]分别构造点DE、线段PDDE
  4.在命令框中分别输入Q=Dilate[A,Distance[P,A]/Distance[A,B],B]F=Dilate[A,Distance[P,A]/Distance[A,B],C]Segment[Q,F]分别以缩放方式构造点QF和构造线段QF
  5.在命令框中输入pz=PathParameter[P]计算点P在折线AP1P2P3B上的路径参数值;在命令框中分别输入
D_1=Point[PolyLine[A,D1,E1,E2,A],pz]D_2=Point[PolyLine[A,D1,E1,E2,E3],pz]
D_3=Point[PolyLine[A,D1,D2,D3,D4],pz]D_4=Point[PolyLine[A,D1,D2,D3,B],pz]
D_5=Point[PolyLine[A,D1,P_2,P_3,B],pz]D_6=Point[PolyLine[A,D1,P_2,Q1,A],pz]分别构造重合多边形的6个顶点D1D2D3D4D5D6
  6.以下操作同第三种方法第45步.

  第五种方法:边线运动追踪
  1.同上第四种方法构造点P1P2P3D1D2D3E1E2E3
  2.在命令框中分别输入Q1=Dilate[A,2/3,B]Q2=Dilate[A,2/3,B]构造Q点运动路径辅助点Q1Q2
  3.同第4种方法第34步构造正方形APDE和梯形BCFQ
  4.在命令框中输入pz=PathParameter[P]计算点P在折线AP1P2P3B上的路径参数值;在命令框中分别输入
L1=Point[PolyLine[A,D1,E1,E2,E2],pz]L3=Point[PolyLine[A,D1,D2,D3,D3],pz]
L5=Point[PolyLine[A,D1,P_2,P_2,P_2],pz]L6=Point[PolyLine[A,Q1,P_2,Q2,A],pz]构造边线上辅助运动控制点L1L3L5L6
  5.在命令框中分别输入l1=Line[L1,b]l2=Line[D,a]l3=Line[L3,c]l4=Line[D,b]l5=Line[L5,a]l6=Line[L6,c]分别通过过1点画与线段平行的直线,构造重合部分各边所在直线(注:a为线段ABb为线段ACc为线段BC).
  6.在命令框中分别输入D_1=Intersect[l1,l6]D_2=Intersect[l1,l2]D_3=Intersect[l2,l3]D_4=Intersect[l3,l4]D_5=Intersect[l4,l5]D_6=Intersect[l5,l6]分别通过求两直线的交点,构造重合部分多边形的6个顶点.
  7.以下操作同第三种方法第45步.


  以上为构造为多边形与多边形动态重叠区域的五种方法.

  附录
  
kj.rar

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