基于GeoGebra构造多边形与多边形重叠部分动画的5种方法

——以2012年吉林省中考第25题为例

2013-03-21 09:56:46   来源：   撰稿：杨帆（转载）   摄影摄像：    ;  评论：0 点击：

　　【摘　要】本文使用GeoGebra的命令和工具，以2012年吉林省中考第25题为例使用5种方法构造多边形与多边形的重叠部分的动画，展现了GeoGebra软件的动画制作功能的有效和强大．
　　【关键词】GeoGebra；命令输入框；多边形；动画

　　多边形与多边形动态重叠问题是近年来各地中考的热点问题，由于画图难度较大，学生解决问题难点多，借助数学动态软件几何画板和GeoGebra制作直观动画能有效帮助学生思考和解决问题．用几何画板制作这类动画往往技巧性强、完成难度大，但使用GeoGebra制作动画相对简单且方法多、易掌握．
　　问题：2012年吉林省中考第25题
　　如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm，动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为Scm²．
　　（1）当t=_____s时，点P与点Q重合；
　　（2）当t=_____s时，点D在QF上；
　　（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．

　　准备工作：
　　1．启动GeoGebra，点击【查看】菜单，选择使绘图区显示坐标系．
　　2．选择点工具在绘图区构造自由点A，在命令框输入B=Point[Ray[A,(x(A)+1,y(A))]]，在以A端点水平向右方向射线上绘制点B；在命令框输入C=(x(A),y(A)+2*Distance[A,B])，在A点正上方绘制点C使AC等于AB的2倍．
　　3．利用线段工具，绘制线段a(线段AB)、b(线段AC)和c(线段BC)构造满题设条件∠A＝90°，AC＝2AB的三角形．
　　（注：以下四种绘图方法都是分别在准备工作的基础上进行．）

　　第一种方法：利用指令IntersectRegion[&ltPolygon&gt，&ltPolygon&gt]
　　（一）绘制正方形APDE和QF
　　1．选择点工具在线段AB上绘制点P，在命令框分别输入D=(x(P),y(P)+Distance[A,P])和E=(x(A),y(D))绘制出点D、E，利用线段工具，绘制线段PD、DE．
　　2．在命令框分别输入pz=PathParameter[P]计算点P在线段AB的路径参数值pz．
　　3．在命令框输入Q=Point[a,1-pz]在线段a上绘制参数值为1-pz的点Q；在命令框输入F=Point[b，1-pz]在线段b上绘制参数值为1-pz的点F，利用线段工具，绘制线段QF．
　　（二）绘制正方形APDE与梯形BCFQ重合部分
　　1．在命令框输入poly1=If[pz&lt=0.4,Polygon[D,D,D,D,D,D],IntersectRegion[Polygon[A,P,D,E],Polygon[B,C,F,Q]]]绘制出正方形APDE与梯形BCFQ重合部分poly1．
　　2．利用移动工具选择点P进行拖动观察运动过程正方形APDE与梯形BCFQ重合部分变化情况．
　　（注：1．为方便计算和绘图，当正方形APDE与梯形BCFQ没有重合部分规定重合部分面积为0且重叠多边形的顶点都为点D；2．用指令IntersectRegion[　]构造重合部分在GeoGebra4.0.40.0以上版测试正常，而在GeoGebra4.0.38.0构造不正确．）

　　第二种方法：构造交点用if指令构造重叠部分
　　（一）方法同第一种方法第一部分操作．
　　（二）构造交点
　　1．在命令框分别输入P_1=Point[a，0.4]、P_2=Point[a，1/2]和P_3=Point[a，2/3]绘制点P在运动路径上的3个关键辅助点P₁、P₂、P₃．
　　2．将点P移动到线段P₁P₂上，用点工具绘制出QF与DE和PD的交点G、H；将点P移动到线段P₃B上，用点工具绘制出BC与DE和PD的交点I、J．
　　（三）构造重合部分
　　1．在命令框输入poly1=If[pz&lt=0.4,Polygon[D,D,D],If[pz&lt=0.5,Polygon[D,G,H],If[pz&lt=2/3,Polygon[D,G,Q,P],Polygon[E,F,Q,P,J,I]]]]绘制出重合部分．
　　2．隐藏绘图辅助对象，只显示点A、B、C、D、P、Q、E、F；利用移动工具拖动点P可动态观察重合部分．

　　第三种方法：用if指令构造顶点构造重叠部分
　　1．同第二种方法（一）、（二）两步绘图结果．
　　2．如下右图，重合部分边数最多时为6边形，有6个顶点，分别标为D₁、D₂、D₃、D₄、D₅、D₆．

　　3．在命令框分别输入
D_1=If[pz&lt=0.4,D,If[pz&lt=2/3,G,F]]、D_2=If[pz&lt=0.4,D,If[pz&lt=2/3,G,E]]、
　D_3=If[pz&lt=2/3,D,I]、D_4=If[pz&lt=2/3,D,J]、D_5=If[pz&lt=0.4,D,If[pz&lt=0.5,H,P]]、
D_6=If[pz&lt=0.4,D,If[pz&lt=0.5,H,Q]]，绘制出对应点P路径参数值时各顶点．
　　4．在命令框输入poly1=Polygon[D_1,D_2,D_3,D_4,D_5,D_6]绘制出以D₁、D₂、D₃、D₄、D₅、D₆为顶点的多边形，为正方形APDE和梯形BCFQ的重合部分．
　　5．隐藏绘图辅助对象，只显示点A、B、C、D、P、Q、E、F；利用移动工具拖动点P可动态观察重合部分．

　　第四种方法：顶点路径追踪
　　1．在命令框分别输入P_1=Dilate[B,0.4,A]、P_2=Dilate[B,0.5,A]、P_3=Dilate[B,2/3,A]和Q1=Dilate[A,2/3,B]绘制P、Q点路径上辅助关键点P₁、P₂、P₃、Q₁．
　　2．在命令框分别输入D1=Rotate[A,-90°,P_1]、D2=Rotate[A,-90°,P_2]、D3=Rotate[A,-90°,P_3]、D4=Midpoint[B,C]、E1=(x(A)+0.5*Distance[A,P_2],y(A)+Distance[A,P_2])、E2=(x(A),y(D3))、E3=Dilate[A,0.5,C]分别构造重合图形顶点运动路径辅助关键点D1、D2、D3、D4和E1、E2、E3．
　　3．在命令框分输入P=Point[PolyLine[A,P_1,P_2,P_3,B]]在折线AP₁P₂P₃B上绘制动点P；在命令框中分别输入D=Rotate[A,-90°,P]、E=(x(A),y(D))、Segment[P,D]、Segment[D,E]分别构造点D、E、线段PD和DE．
　　4．在命令框中分别输入Q=Dilate[A,Distance[P,A]/Distance[A,B],B]、F=Dilate[A,Distance[P,A]/Distance[A,B],C]、Segment[Q,F]分别以缩放方式构造点Q、F和构造线段QF．
　　5．在命令框中输入pz=PathParameter[P]计算点P在折线AP₁P₂P₃B上的路径参数值；在命令框中分别输入
D_1=Point[PolyLine[A,D1,E1,E2,A],pz]、D_2=Point[PolyLine[A,D1,E1,E2,E3],pz]、
D_3=Point[PolyLine[A,D1,D2,D3,D4],pz]、D_4=Point[PolyLine[A,D1,D2,D3,B],pz]、
D_5=Point[PolyLine[A,D1,P_2,P_3,B],pz]、D_6=Point[PolyLine[A,D1,P_2,Q1,A],pz]分别构造重合多边形的6个顶点D₁、D₂、D₃、D₄、D₅、D₆．
　　6．以下操作同第三种方法第4、5步．

　　第五种方法：边线运动追踪
　　1．同上第四种方法构造点P₁、P₂、P₃、D1、D2、D3和E1、E2、E3．
　　2．在命令框中分别输入Q1=Dilate[A,2/3,B]、Q2=Dilate[A,2/3,B]构造Q点运动路径辅助点Q1、Q2．
　　3．同第4种方法第3、4步构造正方形APDE和梯形BCFQ．
　　4．在命令框中输入pz=PathParameter[P]计算点P在折线AP₁P₂P₃B上的路径参数值；在命令框中分别输入
L1=Point[PolyLine[A,D1,E1,E2,E2],pz]、L3=Point[PolyLine[A,D1,D2,D3,D3],pz]、
L5=Point[PolyLine[A,D1,P_2,P_2,P_2],pz]、L6=Point[PolyLine[A,Q1,P_2,Q2,A],pz]构造边线上辅助运动控制点L1、L3、L5、L6．
　　5．在命令框中分别输入l1=Line[L1,b]、l2=Line[D,a]、l3=Line[L3,c]、l4=Line[D,b]、l5=Line[L5,a]、l6=Line[L6,c]分别通过过1点画与线段平行的直线，构造重合部分各边所在直线（注：a为线段AB，b为线段AC，c为线段BC）．
　　6．在命令框中分别输入D_1=Intersect[l1,l6]、D_2=Intersect[l1,l2]、D_3=Intersect[l2,l3]、D_4=Intersect[l3,l4]、D_5=Intersect[l4,l5]、D_6=Intersect[l5,l6]分别通过求两直线的交点，构造重合部分多边形的6个顶点．
　　7．以下操作同第三种方法第4、5步．