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【摘 要】本文使用GeoGebra的命令和工具,以2012年吉林省中考第25题为例使用5种方法构造多边形与多边形的重叠部分的动画,展现了GeoGebra软件的动画制作功能的有效和强大. 【关键词】GeoGebra;命令输入框;多边形;动画
多边形与多边形动态重叠问题是近年来各地中考的热点问题,由于画图难度较大,学生解决问题难点多,借助数学动态软件几何画板和GeoGebra制作直观动画能有效帮助学生思考和解决问题.用几何画板制作这类动画往往技巧性强、完成难度大,但使用GeoGebra制作动画相对简单且方法多、易掌握. 问题:2012年吉林省中考第25题 如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=2cm,AC=4cm,动点P从点A出发,沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动,动点Q从点B同时出发,沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动.当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动.以AP为一边向上作正方形APDE,过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为ts,正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为Scm2. (1)当t=_____s时,点P与点Q重合; (2)当t=_____s时,点D在QF上; (3)当点P在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时,求S与t之间的函数关系式.
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准备工作: 1.启动GeoGebra,点击【查看】菜单,选择 使绘图区显示坐标系. 2.选择点工具 在绘图区构造自由点A,在命令框输入B=Point[Ray[A,(x(A)+1,y(A))]],在以A端点水平向右方向射线上绘制点B;在命令框输入C=(x(A),y(A)+2*Distance[A,B]),在A点正上方绘制点C使AC等于AB的2倍. 3.利用线段工具 ,绘制线段a(线段AB)、b(线段AC)和c(线段BC)构造满题设条件∠A=90°,AC=2AB的三角形. (注:以下四种绘图方法都是分别在准备工作的基础上进行.)
第一种方法:利用指令IntersectRegion[<Polygon>,<Polygon>] (一)绘制正方形APDE和QF 1.选择点工具 在线段AB上绘制点P,在命令框分别输入D=(x(P),y(P)+Distance[A,P])和E=(x(A),y(D))绘制出点D、E,利用线段工具 ,绘制线段PD、DE. 2.在命令框分别输入pz=PathParameter[P]计算点P在线段AB的路径参数值pz. 3.在命令框输入Q=Point[a,1-pz]在线段a上绘制参数值为1-pz的点Q;在命令框输入F=Point[b,1-pz]在线段b上绘制参数值为1-pz的点F,利用线段工具 ,绘制线段QF. (二)绘制正方形APDE与梯形BCFQ重合部分 1.在命令框输入poly1=If[pz<=0.4,Polygon[D,D,D,D,D,D],IntersectRegion[Polygon[A,P,D,E],Polygon[B,C,F,Q]]]绘制出正方形APDE与梯形BCFQ重合部分poly1. 2.利用移动工具 选择点P进行拖动观察运动过程正方形APDE与梯形BCFQ重合部分变化情况. (注:1.为方便计算和绘图,当正方形APDE与梯形BCFQ没有重合部分规定重合部分面积为0且重叠多边形的顶点都为点D;2.用指令IntersectRegion[ ]构造重合部分在GeoGebra4.0.40.0以上版测试正常,而在GeoGebra4.0.38.0构造不正确.)
第二种方法:构造交点用if指令构造重叠部分 (一)方法同第一种方法第一部分操作. (二)构造交点 1.在命令框分别输入P_1=Point[a,0.4]、P_2=Point[a,1/2]和P_3=Point[a,2/3]绘制点P在运动路径上的3个关键辅助点P1、P2、P3. 2.将点P移动到线段P1P2上,用点工具绘制出QF与DE和PD的交点G、H;将点P移动到线段P3B上,用点工具绘制出BC与DE和PD的交点I、J. (三)构造重合部分 1.在命令框输入poly1=If[pz<=0.4,Polygon[D,D,D],If[pz<=0.5,Polygon[D,G,H],If[pz<=2/3,Polygon[D,G,Q,P],Polygon[E,F,Q,P,J,I]]]]绘制出重合部分. 2.隐藏绘图辅助对象,只显示点A、B、C、D、P、Q、E、F;利用移动工具拖动点P可动态观察重合部分.
第三种方法:用if指令构造顶点构造重叠部分 1.同第二种方法(一)、(二)两步绘图结果. 2.如下右图,重合部分边数最多时为6边形,有6个顶点,分别标为D1、D2、D3、D4、D5、D6.
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3.在命令框分别输入 D_1=If[pz<=0.4,D,If[pz<=2/3,G,F]]、D_2=If[pz<=0.4,D,If[pz<=2/3,G,E]]、 D_3=If[pz<=2/3,D,I]、D_4=If[pz<=2/3,D,J]、D_5=If[pz<=0.4,D,If[pz<=0.5,H,P]]、 D_6=If[pz<=0.4,D,If[pz<=0.5,H,Q]],绘制出对应点P路径参数值时各顶点. 4.在命令框输入poly1=Polygon[D_1,D_2,D_3,D_4,D_5,D_6]绘制出以D1、D2、D3、D4、D5、D6为顶点的多边形,为正方形APDE和梯形BCFQ的重合部分. 5.隐藏绘图辅助对象,只显示点A、B、C、D、P、Q、E、F;利用移动工具拖动点P可动态观察重合部分.
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第四种方法:顶点路径追踪 1.在命令框分别输入P_1=Dilate[B,0.4,A]、P_2=Dilate[B,0.5,A]、P_3=Dilate[B,2/3,A]和Q1=Dilate[A,2/3,B]绘制P、Q点路径上辅助关键点P1、P2、P3、Q1. 2.在命令框分别输入D1=Rotate[A,-90°,P_1]、D2=Rotate[A,-90°,P_2]、D3=Rotate[A,-90°,P_3]、D4=Midpoint[B,C]、E1=(x(A)+0.5*Distance[A,P_2],y(A)+Distance[A,P_2])、E2=(x(A),y(D3))、E3=Dilate[A,0.5,C]分别构造重合图形顶点运动路径辅助关键点D1、D2、D3、D4和E1、E2、E3. 3.在命令框分输入P=Point[PolyLine[A,P_1,P_2,P_3,B]]在折线AP1P2P3B上绘制动点P;在命令框中分别输入D=Rotate[A,-90°,P]、E=(x(A),y(D))、Segment[P,D]、Segment[D,E]分别构造点D、E、线段PD和DE. 4.在命令框中分别输入Q=Dilate[A,Distance[P,A]/Distance[A,B],B]、F=Dilate[A,Distance[P,A]/Distance[A,B],C]、Segment[Q,F]分别以缩放方式构造点Q、F和构造线段QF. 5.在命令框中输入pz=PathParameter[P]计算点P在折线AP1P2P3B上的路径参数值;在命令框中分别输入 D_1=Point[PolyLine[A,D1,E1,E2,A],pz]、D_2=Point[PolyLine[A,D1,E1,E2,E3],pz]、 D_3=Point[PolyLine[A,D1,D2,D3,D4],pz]、D_4=Point[PolyLine[A,D1,D2,D3,B],pz]、 D_5=Point[PolyLine[A,D1,P_2,P_3,B],pz]、D_6=Point[PolyLine[A,D1,P_2,Q1,A],pz]分别构造重合多边形的6个顶点D1、D2、D3、D4、D5、D6. 6.以下操作同第三种方法第4、5步.
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第五种方法:边线运动追踪 1.同上第四种方法构造点P1、P2、P3、D1、D2、D3和E1、E2、E3. 2.在命令框中分别输入Q1=Dilate[A,2/3,B]、Q2=Dilate[A,2/3,B]构造Q点运动路径辅助点Q1、Q2. 3.同第4种方法第3、4步构造正方形APDE和梯形BCFQ. 4.在命令框中输入pz=PathParameter[P]计算点P在折线AP1P2P3B上的路径参数值;在命令框中分别输入 L1=Point[PolyLine[A,D1,E1,E2,E2],pz]、L3=Point[PolyLine[A,D1,D2,D3,D3],pz]、 L5=Point[PolyLine[A,D1,P_2,P_2,P_2],pz]、L6=Point[PolyLine[A,Q1,P_2,Q2,A],pz]构造边线上辅助运动控制点L1、L3、L5、L6. 5.在命令框中分别输入l1=Line[L1,b]、l2=Line[D,a]、l3=Line[L3,c]、l4=Line[D,b]、l5=Line[L5,a]、l6=Line[L6,c]分别通过过1点画与线段平行的直线,构造重合部分各边所在直线(注:a为线段AB,b为线段AC,c为线段BC). 6.在命令框中分别输入D_1=Intersect[l1,l6]、D_2=Intersect[l1,l2]、D_3=Intersect[l2,l3]、D_4=Intersect[l3,l4]、D_5=Intersect[l4,l5]、D_6=Intersect[l5,l6]分别通过求两直线的交点,构造重合部分多边形的6个顶点. 7.以下操作同第三种方法第4、5步.
以上为构造为多边形与多边形动态重叠区域的五种方法.
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