圆与圆的位置关系

2022-04-05 09:28:00   来源：   撰稿：杨帆   摄影摄像：    ;  评论：0 点击：

知识技能

　　1．学生能够根据两圆五种位置关系的定义判断两圆的位置关系；
　　2．学生能够根据圆心距、半径和、半径差三者间的数量关系来判断两圆的位置关系（五种位置关系的判定），反过来，能够根据两圆的位置关系来确定圆心距、半径和、半径差这三者间的数量关系（五种位置关系的性质）。

过程方法

　　1．在经历“点与圆的位置关系”和“直线与圆的位置关系”知识点小结的学习活动中，培养学生研究图形间的位置关系的方法。
　　2．在圆和圆五种位置关系定义的学习中，经历观察、类比等过程，培养学生分析问题、概括总结、动手操作的能力以及分类讨论的思想。
　　3．在探究“圆和圆的五种位置关系的性质与判定”的活动中，体会数形结合的思想及由特殊到一般的研究方法。

情感态度

　　1．培养学生合作交流意识以及探索精神。
　　2．感受数学知识源于生活，又应用于生活。

教学重点

　　“圆和圆的五种位置关系”的探究和“圆和圆五种位置关系的性质”的探究。

教学难点

　　两圆位置关系性质的探究。

师生活动

设计意图

【活动1】点评课前网络平台上的作业。

　　老师对课前在网络平台上布置的作业：“点和圆的位置关系”与“直线和圆的位置关系”知识点（定义、性质、判定）的小结与研究几何图形的位置关系的方法进行点评。

　　凭借以往经验巩固图形间的位置关系的研究方法，明确本节课依然从数形结合角度来研究“圆和圆的位置关系”。

【活动2】情境引入。

　　学生列举日常生活中体现两圆的位置关系的具体实例与大家分享。

　　老师展示课件中的图片供学生欣赏。

　　老师引出问题：如何对两圆的位置关系来进行划分？

　　从实例中抽象出两个圆的数学模型，培养学生抽象思维，感受数学与我们的生活紧密相连。

【活动3】探究大小不等的两个圆的五种位置关系。

　　老师演示几何画板课件，引导学生观察两圆位置关系的分类标准是：公共点个数。并提出问题：大小不等的两个圆的公共点个数有几种可能？

　　学生独立动手操作几何画板课件，尝试摆放出不同情况下的图形并展示。老师将结论进行整理，按一定顺序摆放好。

　　学生根据公共点个数以及点的特征，概括出定义，并记录在学案上。

　　练习：请指出下列图中存在几种圆和圆的位置关系？分别是什么？

　　培养了学生观察能力、类比的思想、分类讨论思想。
　　学生感受动手操作，加强对两个圆五种不同位置关系的感性认识。

　　培养学生总结概括的能力。

　　学以致用。
　　引出找寻数量关系的必要性。

【活动4】探究圆和圆位置关系的性质和判定。

动手操作：几何画板课件第2页。

学生独立思考，小组合作探究。

　　学生通过类比在刻画“点和圆的位置关系”与“直线和圆的位置关系”时所依据的数量关系，进而猜想出，可以比较“圆心距与半径”的数量关系，来刻画“圆和圆的位置关系”。

　　老师操作几何画板课件，引导学生观察：当两圆的位置发生变化时，圆心距d、大圆半径R和小圆半径r这三个量中，哪些量发生了变化？哪些量没发生变化？学生回答。

　　引导学生先分析“两圆相切”时，这三组量之间存在什么关系？
　　学生根据具体数据，很容易得出：
　　（1）当两圆外切时，d=R+r;
　　（2）当两圆内切时，d=R-r。

　　学生对于剩下的三种位置关系先独立思考，然后在组中进行讨论，将本组的结论发布到班级论坛中。

　　教师给予及时点评，并请同学阐述观点的来由。
　　由此得出：圆和圆位置关系的性质。

　　老师问题：反过来，能根据数量关系推出位置关系吗？学生回答，并阐述理由。
由此得出：圆和圆位置关系的判定。

　　老师运用数轴，将位置关系与数量关系一一对应起来。（板书）

　　培养学生类比、猜想的意识。

　　只有让学生明确无论两个圆的位置怎么改变，三个量中只有圆心距d在发生变化，这样后面的学生才会将注意力集中到圆心距d上。
　

　　将“界点”找到，相交、内含、外离的研究便水到渠成。既培养学生研究问题从特殊到一般的方法，又突破了教学的难点。

　　让学生感受数学的严谨性，结论证明的必要性。适当地培养学生反证法。

【活动5】新知应用。

　　例1 已知两圆的半径分别是3和7，圆心距为d，请根据下列条件，确定圆心距d的取值范围：
　　（1）若两圆外离，则____________；
　　（2）若两圆内切，则____________；
　　（3）若两圆相交，则____________；
　　（4）若两圆相切，则____________。

　　课堂检测
　　1．已知两圆的半径分别是2和8，圆心距为d， 若两圆相交，则下列选项中，圆心距d的取值范围正确的是(　　)
　　A．d=6　　　　B．d>10　
　　C．6<d<10　　D． 2<d<8
　　2．已知两圆外切，且两圆的半径分别为3和，圆心距d为5，则的值是（　　）。
　　A．3　 B．5　 C．8　 D． 2　
　　学生上传结果至平台，教师及时给予评价。

　　例2 已知A和B的半径分别是3、5，圆心距为10，请你判断这两个圆的位置关系。

　　课堂检测
　　1．已知两圆半径分别为4和3，若它们的圆心距是1，则这两个圆的位置关系是（　　）
　　A．外离　B．内切　C．内含　D．相交　
　　2．已知两圆半径分别为2和4，若它们的圆心距是4，则这两个圆的位置关系是（　　）
　　A．外切　B．内切　C．内含　 D．相交
　　3．已知两圆的圆心距为4，两圆的半径分别是方程x2-4x+3 =0的两个根，则两圆的位置关系是（　　）　
　　A．外切　B．外离　C．内含　D．相交
　　4．在平面直角坐标系中，两圆的圆心坐标分别为（0，1）和（1，0），半径都是1，那么这两个圆的位置关系是（　　）
　　A．外切　B．外离　 C．内含　D．相交
　　学生上传结果至平台，教师及时给予评。

　　例3 如图，O的半径为5cm，点P是O外的一点，OP=8cm。以P为圆心作P与O相切，求P的半径?

　　　

　　学生回答。

　　圆和圆位置关系性质的应用。
　　第（4）小题是要培养分类讨论思想。

　　圆和圆位置关系判定的应用。

　　第3小题注重前后知识的联系。
　　第4小题培养学生选取适当的方法，　　灵活应用定义和判定。

　　例3注重分类讨论思想以及学生动手画图能力的培养。

【活动6】课堂小结。

　　老师：请大家回顾本节课的学习过程，
　　1．数学知识方面你有哪些收获？
　　2．数学思想方面你有哪些收获？

　　训练学生概括小结能力，内化研究图形位置关系的方法。

【活动7】布置作业。

　　目标：P56页/1-9　
　　选做题：点A、B在直线MN上（A在左，B在右），AB=11cm，A、B的半径均为1cm，A以每秒2cm的速度自左向右运动，与此同时，B的半径也不断增大，其半径为r（cm），与时间t（s）之间的关系式为r=1+t(t≥0)。
求：

　　 ①A、B两点间的距离d（cm）与时间t（s）之间的函数关系式；
　　②问点A出发后多少秒两圆相切？

　　分层布置作业，既注重基础知识的落实，同时又注重解题能力的提升。选做题考查动点问题（中考热点题型）和分类讨论思想。

　　　　　24.2.3 圆和圆的位置关系
　　1．圆和圆的五种位置关系：
　　2．圆和圆的位置关系的性质和判定