一、引入新课
设计意图:凭借以往经验巩固图形间的位置关系的研究方法,明确本节课依然从数形结合角度来研究“圆和圆的位置关系”。从实例中抽象出两个圆的数学模型,培养学生抽象思维,感受数学与生活紧密相连。
师生活动:老师对课前在网络平台上布置的作业:“点和圆的位置关系”与“直线和圆的位置关系”知识点(定义、性质、判定)的小结与研究几何图形的位置关系的方法进行点评。
学生列举日常生活中体现两圆的位置关系的具体实例与大家分享。老师展示课件中的图片供学生欣赏。老师引出问题:如何对两圆的位置关系来进行划分?
二、探究大小不等的两个圆的五种位置关系 (视频)
设计意图:培养学生观察能力、类比的思想、分类讨论思想。学生感受动手操作,加强对两个圆五种不同位置关系的感性认识。学以致用引出找寻数量关系的必要性,培养学生总结概括的能力。
师生活动:老师演示几何画板课件,引导学生观察两圆位置关系的分类标准是:公共点个数。并提出问题:大小不等的两个圆的公共点个数有几种可能?学生独立动手操作几何画板课件,尝试摆放出不同情况下的图形并展示。老师将结论进行整理,按一定顺序摆放好。学生根据公共点个数以及点的特征,概括出定义,并记录在学案上。
三、探究圆和圆位置关系的性质和判定
设计意图:培养学生类比、猜想的意识。让学生明确无论两个圆的位置怎么改变,三个量中只有圆心距d在发生变化,这样后面的学生才会将注意力集中到圆心距d上。 将“界点”找到,相交、内含、外离的研究便水到渠成。既培养学生研究问题从特殊到一般的方法,又突破了教学的难点。让学生感受数学的严谨性,结论证明的必要性。适当地培养学生反证法。
师生活动:学生通过类比在刻画“点和圆的位置关系”与“直线和圆的位置关系”时,所依据的数量关系,进而猜想出,可以比较“圆心距与半径”的数量关系,来刻画“圆和圆的位置关系”。 老师操作几何画板课件,引导学生观察:当两圆的位置发生变化时,圆心距d、大圆半径R和小圆半径r这三个量中,哪些量发生了变化?哪些量没发生变化?引导学生先分析“两圆相切”时,这三组量之间存在什么关系?学生先独立思考,然后在组中进行讨论,将本组的结论发布到班级论坛中。教师给予及时点评,并请同学阐述观点的来由。老师运用数轴,将位置关系与数量关系一一对应起来。
四、课堂小结与课后拓展
设计意图:训练学生概括小结能力,内化研究图形位置关系的方法。分层布置作业,既注重基础知识的落实,同时又注重解题能力的提升。选做题考查动点问题(中考热点题型)和分类讨论思想。
师生活动:学生回顾本节课的学习过程,思考:数学知识方面你有哪些收获?数学思想方面你有哪些收获?分层布置作业。
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